Unidad 7

Solución Numérica de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias


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7.1 Introducción.



Las ecuaciones diferenciales aparecen naturalmente al modelar situaciones físicas en las ciencias naturales, ingeniería, y otras disciplinas, donde hay envueltas razones de cambio de una ó varias funciones desconocidas con respecto a una ó varias variables independientes. Estos modelos varían entre los más sencillos que envuelven una sola ecuación diferencial para una función desconocida, hasta otros más complejos que envuelven sistemas de ecuaciones diferenciales para varias funciones desconocidas. Por ejemplo, la ley de enfriamiento de Newton y las leyes mecánicas que rigen el movimiento de los cuerpos, al ponerse en terminos matemáticos dan lugar a ecuaciones diferenciales. Usualmente estas ecuaciones estan acompañadas de una condición adicional que especifica el estado del sistema en un tiempo o posición inicial. Esto se conoce como la condición inicial y junto con la ecuación diferencial forman lo que se conoce como el problema de valor inicial. Por lo general, la solucón exacta de un problema de valor inicial es imposible ó dificil de obtener en forma analítica. Por tal razón los métodos numéricos se utilizan para aproximar dichas soluciones. Comenzaremos discutiendo los métodos para ecuaciones escalares y luego generalizamos los mismos a sistemas de ecuaciones.





7.2 METODO DE EULER HACIA ADELANTE Y HACIA ATRAS







• El presente método, fue ideado por el gran

matemático Leonhard Gauss, hace más de doscientos

años, este resulta ser el más fácil de entender y

aplicar.

• Es muy adecuado para la programación rápida,

debido a su sencillez.

• No es tan preciso como otros métodos mas refinados

(como Heun, Runge-Kutta de 4to Orden, etc...)

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Max_Volodya
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• Pártase del más simple tipo de ecuación diferencial
ordinaria, que la de tipo lineal de primer orden, el
clásico Problema de Cauchy de la forma:


fig1.png
Considérese que el problema a sido discretizado
sobre la variable t, donde se cumple:


fig2.png



7.3 METODO TRAPECIAL:


DEFINICIÒN

De acuerdo a la definición del diccionario, integrar significa “unir todas las partes en un todo; unificar, indicar la cantidad total,…” . Matemáticamente, la integración se representa por . En los primeros años de ingeniería, se ven apartes de cálculo integral. Se aprenden técnicas que obtienen soluciones analíticas o soluciones exactas de integrales definidas e indefinidas. En esta parte se trata de solucionar integrales definidas, o sea integrar una función entre un par de límites dados . Integral en la cual el intervalo de integración , es finito, y f es una función de una variable real y valor real continua en .

Una integral definida se define geométricamente como el área bajo la curva en el intervalo . De acuerdo al teorema fundamental del calculo integral la ecuación se evalúa como . En donde F(x) es la integral de , esto es, cualquier función tal que . Es decir F(x) es una antiderivada de . La nomenclatura de es .

Desafortunadamente en la mayoría de los casos prácticos es muy difícil o aun imposible hallar una antiderivada de f(x). En estos casos el valor de la integral debe de aproximarse. Esto puede lograrse de las siguientes maneras:

Serie de potencias. Método gráfico. Métodos numéricos.

La Regla Trapezoidal es parte de las fórmulas de integración de Newton-Cotes, las cuales se basan en el reemplazo de una función complicada de resolver de forma manual o datos tabulados con una función aproximada que sea difícil de resolver.
















7.4 METODO DE RUNGE-KUTTA


El método de Runge-Kutta es un método genérico de resolución numérica de ecuaciones diferenciales. Este conjunto de métodos fue inicialmente desarrollado alrededor del año 1900 por los matemáticos C. Runge y M. W. Kutta.

La computadora, es la herramienta mas poderosa hasta ahora conocida, para la solución de problemas en el campo de las ciencias exactas, en este caso los métodos numéricos, como punto principal por sus aplicaciones en la ingeniería.

Los métodos numéricos son técnicas, donde es posible resolver los problemas por medio de operaciones aritméticas, estos métodos implementan un buen numero de cálculos que son por demás demasiado lentos si se hacen manualmente, gastando mucha energía en la técnica misma de solución en vez de aplicarla sobre la definición del problema y su interpretación.

El trabajo monótono que se hacia anteriormente al uso de la computadora, hace de importancia, el dominio de los métodos numéricos, los cuales se deben llevar a cabo en combinación con las capacidades y potencialidades de la programación de computadoras para de esa forma resolver los problemas de ingeniería mucho mas fácilmente y eficientemente.

El objetivo de los métodos numéricos de runge-kutta, es el análisis y solución de los problemas de valor de ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO), estos son una extensión del método de euler para resolver las (EDO’S), pero con un orden de exactitud mas alto que este.



Los métodos de Runge-Kutta (RK) son un conjuntos de métodos iterativos (implícitos y explícitos) para la aproximación de soluciones de [[/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial_ordinaria|ecuaciones diferenciales ordinarias]], concretamente, del [[/wiki/Problema_de_valor_inicial|problema de valor inicial]].
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METODO DE RUNGE-KUTTA DE ORDEN 2 Y 4 PARA PROBLEMAS DE VALOR INICIAL



VIDEO EXPLICATIVO:










7.5 METODO PREDICTOR-CORRECTOR






7.6 APLICACIONES






2 DOCUMENTOS CON LOS SUBTEMAS DE LA UNIDAD DE SOLUCIONES DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS, EXPLICADOS CON SUS APLICACIONES Y EJEMPLOS:

(DAR CLCIK EN LA DESEADA, LINK DE ABAJO O IMAGEN:) PRIMERA: DOCUMENTO DEL TECNOLOGICO DE MORELIA
SEGUNDA: RESUMEN DE LIBRO

















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ALUMNOS DE INGENIERIA ELECTRICA,
METODOS NUMERICOS, CON EL PROFESOR
ING. Kristhian Alcantar Medina :

  1. JIMENEZ LOPEZ MAX VLADIMIR
  2. ARIAS FLORES JULIO DANIEL
  3. TOPETE PARRA JONATHAN DANIEL
  4. PEREZ RIVAS HECCTOR
  5. MEZA SOLIS JESUS ISRAEL
  6. DE LA TORRE JIMENEZ SAUL
  7. ESPINOZA ORONIA ERIK
  8. GARCIA JOSE PABLO
El objetivo de los métodos numéricos de runge-kutta, es el análisis y solución de los problemas de valor inicial de ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO), estos son una extensión del método de euler para resolver las (EDO’S), pero con un orden de exactitud mas alto que este.